Clase lateral

En matemáticas, sea G un grupo, H un subgrupo de G y g es un elemento cualquiera de G, entonces:

gH = {gh : h un elemento de H } es una clase lateral izquierda de H en G y

Hg = {hg : h un elemento de H } es una clase lateral derecha de H en G.

Solo en el caso de que H sea un subgrupo normal coincidirán las clases laterales derecha e izquierda de H, lo cual constituye precisamente una de las definiciones de la condición de normalidad de un subgrupo.

Una clase lateral es una clase lateral izquierda o derecha de algún subgrupo de G. Puesto que Hg = g ( g⁻¹Hg ), las clases laterales derechas Hg (de H ) y las clases laterales izquierdas g ( g⁻¹Hg ) (del subgrupo conjugado g⁻¹Hg ) coinciden. Por tanto, no tiene ningún sentido afirmar que una clase lateral es izquierda o derecha sin antes especificar el subgrupo al que corresponden. En otras palabras: la clase lateral derecha de un subgrupo es igual a la clase lateral izquierda de otro subgrupo (conjugado) diferente. El que una cierta clase lateral sea una clase lateral derecha o izquierda dependerá de qué subgrupo se utilice.

Si estamos trabajando con un grupo abeliano, o con un grupo que se exprese con notación aditiva, la notación utilizada para las clases laterales cambia, empleándose g+H y H+g, respectivamente.